Question

【题目】如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ． (2) (3)

【解析】【试题分析】（1）在直角三角形BCO中利用三角函数求解；（2）知道抛物线与x轴的两个交点，设成交点式求解；（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

分三种情况讨论：①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．

③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．故求.

【试题解析】

（1）如图1，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2， ．

所以点B的坐标为．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，

代入点B， ．解得．

所以抛物线的解析式为．

（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．

当P在时，B、O、P三点共线（如图1）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．

③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．

综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．