Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO，连结CD
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2，CD= ，求AD的长．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵AD∥OC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4

∵OA=OD

∴∠3=∠4

∴∠1=∠2，

在△OCB与△OCD中.

∴△OCB≌△OCD．（SAS）．

∴∠ODC=∠OBC．

∵BC是⊙O的切线

∴∠OBC=90°．

∴∠ODC=90°．

∴OD⊥CD．

∴CD切⊙O于D；

（2）解：由（1）知：CD、BC是⊙O的切线，

∴BC=CD= ，

在Rt△OCB中，

∵OB= AB=1，

∴OC= ，

由（1）知：∠2=∠4，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°．

∴∠ADB=∠ABC=90°．

∴△OCB∽△ABD，

∴

即 ，

∴ ；

【解析】（1）连接OD，SAS证明△ODC≌△OBC，得出∠CDO=∠CBO=90°，即可得出CD是⊙O的切线；（2）先求出OB，OC的长，再运用△ADB∽△OBC，求出AD的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．