Question

【题目】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°

(1) 求证：四边形ABCD是矩形

(2) 若DE⊥AC交BC于E，∠ADB∶∠CDB＝2∶3，则∠BDE的度数是多少？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）18°

【解析】

（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；

（2）求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理求出∠AOB，从而可得到∠CDO，最后，依据∠BDE=90°-∠DOC求解即可．

（1）∵AO=CO，BO=DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）∵∠ADC=90°，∠ADB：∠CDB=2：3，

∴∠ADB=36°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OD，

∴∠OAD=∠ADB=36°，

∴∠DOC=72°，

∵DE⊥AC，

∴∠BDE=90°-∠DOC=18°．