Question

【题目】如图，点E为矩形ABCD中AD边中点，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在矩形内部的点F处，延长CF交AB于点G，连接AF

（1）求证：AF∥CE；
（2）探究线段AF，EF，EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若BC=6，BG=8，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接FD交EC于P，

由折叠矩形ABCD可得，EF=ED，CF=CD，∠DEC=∠FEC，∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°，

∵点E为AD的中点，

∴AE=ED=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

∵∠DEF=∠EAF+∠EFA=∠DEC+∠FEC，

∴∠EAF=∠DEC，

∴AF∥EC；

（2）

∵EF=ED，CF=CD，

∴E，C两点都在线段DF的中垂线上，即EC⊥DF，

∴∠DPE=90°，

∵AF∥EC，

∴∠AFD=∠DPE=∠EDC=90°，

∵∠EAF=∠DEC，∠AFD=∠EDC，

∴△AFD∽△EDC，

∴ ，即AFEC=DEAD，

∴AFEC=2EF2；

（3）

∵∠GAF+∠EAF=∠GFA+∠EFA=90°，∠EAF=∠EFA，

∴∠GAF=∠GFA，

∴AG=FG，

在Rt△BGC中，BC=6，BG=8，

CG= =10，

∵AB=CD=CF，

∴8+AG=10﹣FG，

∴AG=FG=1，

∴CF=CD=9，

∵AD=BC=6，

∴EF= AD=3，

∴在Rt△DEC中，EC= =3 ，

∵AFEC=2EF2，

∴3 ×AF=2×32，

解得，AF= ．

【解析】（1）连接FD交EC于P，根据折叠的性质得到EF=ED，CF=CD，∠DEC=∠FEC，∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°，根据直角三角形的性质得到AE=ED=EF，求出∠EAF=∠DEC，根据平行线的判定定理证明；（2）证明△AFD∽△EDC，根据相似三角形的性质定理计算即可；（3）根据勾股定理求出CG，根据矩形的性质求出AB，根据（2）的结论计算即可．