Question

【题目】某商店试销一种新商品，该商品的进价为40元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价在40～70元之间的调整而不同．当售价在40～50元时，每月销售量都为60件；当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元．
（1）当售价在50～70元时，求每月销售量为y与x的函数关系式？
（2）当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
（3）若该商店每月采购这种新商品的进货款不低于1760元，则该商品每月最大利润为元．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=kx+b

由图知：当x=50时，y=60；当x=70时，y=20．

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣2x+160（50≤x≤70）；

（2）解：由题可知，

当40≤x≤50时，Q=60（x﹣40）=60x﹣2400，

∵60＞0，

∴Q随x的增大而增大，

∴x=50时，Q有最大值600元．

当50≤x≤70时，Q=y（x﹣40）=2x2+240x﹣6400=﹣2（x﹣60）2+800，

∵﹣2＜0，

∴x=60时，Q有最大值800元．

综上所述，当该商品售价是60元时，该商店每月获利最大，最大利润是800元．

（3）792
【解析】解：（3）设采购的数量为m，则40m≥1760，解得m≥44， 由（1）知，若40≤x≤50，则利润的最大值为600元；
若50≤x≤70，由﹣2x+160≥44可得x≤58，
∵Q=﹣2（x﹣60）2+800中x＜60时，Q随x的增大而增大，
∴当x=58时，Q取得最大值，最大值为792，
故答案为：792．
（1）待定系数法求解可得；（2）分40≤x≤50和50≤x≤70两种情况，根据总利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数性质解答可得；（3）由进货款求得进货量的范围，结合（2）中的函数解析式分类讨论求解可得．