Question

【题目】如图，小明将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点C叠放在一起，若保持△BCD不动，将△ACE绕直角顶点C旋转．

（1）如图1，如果CD平分∠ACE，那么CE是否平分∠BCD?答：______（填写“是”或“否”）；

（2）如图1，若∠DCE=35，则∠ACB=______；若∠ACB=140，则∠DCE=______；

（3）当△ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；

（4）当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，上述关系是否依然成立，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）是；（2）145°，40°；（3）∠ACB＋∠DCE＝180°，理由见解析；（4）成立，理由见解析

【解析】

（1）CD平分∠ACE，那么可得∠DCE＝45°，进而求得∠BCF是45°，那么CE平分∠BCD；
（2）由∠DCE＝35°可先求出∠ACD＝55°，再结合∠ACB＝∠DCB＋∠ACD，∠BCD＝90°即可求解；由∠ACB＝140°，可先求出∠ACD从而求出∠DCE．
（3）根据∠ACE=∠DCB=90°，以及∠ACB=∠ACE+∠BCE，即可得出∠ACB＋∠DCE＝180°．

（4）根据周角定义，再结合已知条件，可以得出∠ACB＋∠DCE＝180°．

解：（1）∵CD平分∠ACE，∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠DCE＝45°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝90°∠DCE＝45°
∴∠DCE＝∠ECB，
∴CE平分∠DCB，
故答案为：是．
（2）∵∠ACD＋∠DCE＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACD＝55°，
∴∠ACB＝∠DCB＋∠ACD＝90°＋55°＝145°；
当∠ACB＝140°，
∴∠ACD＝∠ACB∠DCB＝50°，
∴∠DCE＝∠ACE∠ACD＝40°．
故答案分别为：145°，40°．

（3）结论：∠ACB＋∠DCE＝180°，

理由：∵∠ACE=∠DCB=90°，∠ACB=∠ACE+∠BCE，

∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠DCE=∠ACE+∠DCB=90°+90°=180°，

（4）成立．
理由∵∠ACE＋∠DCB＝180°，
又∵∠ACB＋∠DCE＋∠ACE＋∠DCB＝360°，∠ACE=∠DCB=90°，
∴∠ACB＋∠DCE＝360°（∠ACE＋∠DCB）＝180°．