Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与圆O交于点E，连结BE、DE．

（1）若圆的半径是3，∠EBA是30度，求AD的长度．

（2）求证：∠BED=∠C．

（3）若OA=5，AD=8，求切线AC的长．

Answer 1

【答案】（1）AD=3；（2）证明见解析；（3）AC=

【解析】试题分析：（1）由垂径定理可得AF=DF，要求AD的长度，即要求AF的长度，由∠EBA=30°可以得出∠FOA=60°，进而得出∠FAO=30°，已知OA的长度结合30°余弦值，不难求出AF的长度，即可求出AD的长度；（2）要证∠BED=∠C即要证明∠DAB=∠C，由于∠C+∠CAF=90°，∠DAB+∠CAF=90°，不难证明；（3）连接BD，BD⊥AD，由勾股定理求出BD的长度，再由△OAC∽△BDA写出对应边的比值，即可求出AC的长度.

试题解析：

（1）解：∵∠EBA=30°，

∴∠AOF=60°，

∵OC⊥AD，

∴∠OAF=30°，AD=2AF，

∵AO=3，

∴AF=AO·cos30°=3×= ，

∴AD=2AF=3；

（2）

∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，

∴AB⊥AC．

∴∠1+∠2=90°，

∵OC⊥AD，

∴∠1+∠C=90°，

∴∠C=∠2，

∵∠BED=∠2，

∴∠BED=∠C；

（3）解：连接BD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD= =6，

∴△OAC∽△BDA，

∴OA∶BD=AC∶DA，

即5：6=AC：8，

∴AC=.