【题目】如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．

（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）

（问题解决）

（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。

（应用拓展）

（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．

参考答案：

【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．

【解析】

（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；

（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；

（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．

解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，

故答案为：是；

（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，

根据“巧点”的定义可知：

①当AB=2AC时，有60=2（x+20），

解得，x=10；

②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），

解得，x=0；

③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），

解得，x=20．

综上，C点表示的数为10或0或20；

（3）由题意得，

（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有

①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，

解得，，

②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，

解得，t=6；

③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），

解得，；

综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；

（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有

①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），

解得，t=12；

②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），

解得，；

③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），

解得，．

综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．

故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．

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