Question

【题目】如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），

（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求弧AQ的长（图1）；
（2）若∠AOB=120°，求AB的长（图2）；

（3）如果线段AB与圆O有两个公共点A、M，当AO⊥PM于点N时，求tan∠MPQ的值（图3）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线AB与圆O相切，

∴∠OAB=90°，

∵OQ=QB=1，

∴OA=1，OB=2，

∴OA= OB，

∴∠B=30°，

∴∠AOB=60°，

∴AQ= ；

（2）解：如图1，

连接AP，过点A作AM⊥BP于M，

∵∠AOB=120°，

∴∠AOP=60°，

∵sin∠AOP= ，

∴AM=sin∠AOPAO=sin60°×1= ，

∵OM= ，

∴BM=OM+OB= +2= ，

∴AB= ；

（3）解：如图2，连接MQ，

∵PQ为圆O的直径，

∴∠PMQ=90°，

∵ON⊥PM，

∴AO∥MQ，

∵PO=OQ，

∴ON= MQ，

∵OQ=BQ，

∴MQ= AO，

∴ON= AO，

设ON=x，则AO=4x，

∵OA=1，

∴4x=1，

∴x= ，

∴ON= ，

∴PN= ，

∴tan∠MPQ= ．

【解析】（1）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，得到∠AOB的度数，再根据弧长的计算公式进行求解即可。
（2）连接AP，过点A作AM⊥BP于M，根据特殊角的三角函数值和已知条件求出AM，再根据BM=OM+OB，求出BM，最后根据勾股定理求出AB。
（3）连接MQ，先根据PQ是圆O的直径和AO⊥PM，得出ON∥MQ，求出ON与OA的数量关系，设ON=x，则AO=4x，根据OA的值求出x的值，再根据勾股定理求出PN的长，最后根据三角函数的定义即可得出答案。
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径，以及对弧长计算公式的理解，了解若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．