Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点的坐标分别为A（﹣6，9），B（0，9），C（3，0），D（﹣3，0），抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）过A、B两点，顶点为M．

（1）若抛物线过点C，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点M落在△ACD的内部（包括边界），求a的取值范围；
（3）若a＜0，连结CM交线段AB于点Q（Q不与点B重合），连接DM交线段AB于点P，设S1=S△ADP+S△CBQ ， S2=S△MPQ ， 试判断S1与S2的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式得： ，

解得：a=﹣ ，b=﹣2，c=9．

将a=﹣ ，b=﹣2，c=9代入得y=﹣ ﹣2x+9．

（2）解：如图1所示：连接AC交直线x=﹣3与点E．

∵点A、B的纵坐标相等，

∴点M在直线x=﹣3上．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A、C的坐标代入得： ，

解得：k=﹣1，b=3．

将k=﹣1，b=3代入得：y=﹣x+3．

∵将x=﹣3代入得；y=﹣（﹣3）+3=6．

∴点E的坐标为（﹣3，6）．

设经过点A、B、E三点的抛物线的解析式为y=a（x+3）2+6，将x=0，y=9代入得：9a+6=9．

解得：a= ．

设经过点A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+3）2，将x=0，y=9代入得：9a=9．

解得：a=1．

∴ ≤a≤1．

（3）解：如图2所示：当点Q与点B重合时．

∵DM为抛物线的对称轴，

∴DM是AB的垂直平分线．

∴AP=PB．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A=∠PBM．

在△APD和△BPM中， ，

∴△APD≌△BPM．

∴S△APD=S△PMB．

∵点Q在AB上且与点B不重合，

∴PQ＜PB．

∴S△APD＞S△PMB．

∴S△ADP+S△CBQ＞S△MPQ．

∴S1＞S2．

【解析】（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，从而可解得a、b、c的值，从而可求得抛物线的解析式。
（2）点A、B的纵坐标相等，因此抛物线的对称轴为x=-3，连接AC，交x=-3与点E，先求得AC的解析式，然后求得点E的坐标，由点M在△ACD的内部，从而可知点M在线段ED上，然后求得经过点A、B、D和点A、B、E的解析式，从而可求得a的范围。
（3）先根据题意画出图形，当点Q与点B重合时，可证明△ADP≌△PBM，由于点Q与点B不重合，故此△ADP的面积>△PBM的面积，从而可知判断出S1与S2的大小关系。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用确定一次函数的表达式和平行四边形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．