Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），己知点H（0，﹣1）．问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（﹣2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得： ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3

（2）

解：解法一：

假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=﹣3时，△HGC不存在．

①当n＞﹣3时，

可得S△GHA=﹣ +v ，S△GHC=﹣m，

∵S△GHC=S△GHA，

∴m+n+1=0，

由 ，

解得： 或 ，

∵点G在y轴的左侧，

∴G（﹣ ， ）；

②当﹣4≤n＜﹣3时，

可得S△GHA= ﹣ ﹣ ，S△GHC=﹣m，

∵S△GHC=S△GHA，

∴3m﹣n﹣1=0，

由 ，

解得： 或 ，

∵点G在y轴的左侧，

∴G（﹣1，﹣4）．

∴存在点G（﹣ ， ）或G（﹣1，﹣4）．

解法二：

①如图①，当GH∥AC时，点A，点C到GH的距离相等，

∴S△GHC=S△GHA，

可得AC的解析式为y=3x﹣3，

∵GH∥AC，得GH的解析式为y=3x﹣1，

∴G（﹣1，﹣4）；

②如图②，当GH与AC不平行时，

∵点A，C到直线GH的距离相等，

∴直线GH过线段AC的中点M（ ，﹣ ）．

∴直线GH的解析式为y=﹣x﹣1，

∴G（﹣ ， ，

∴存在点G（﹣ ， ）或G（﹣1，﹣4）

（3）

解：解法一：

如图③，

∵E（﹣2，0），

∴D的横坐标为﹣2，

∵点D在抛物线上，

∴D（﹣2，﹣3），

∵F是OC中点，

∴F（0，﹣ ），

∴直线DF的解析式为：y= x﹣ ，

则它与x轴交于点Q（2，0），

则QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，

∵∠EPF=∠PDF，

∴∠BPE=∠DFP，

∴△PBE∽△FDP，

∴ ，

得：PBDP= ，

∵PB+DP=BD= ，

∴PB= ，

即P是BD的中点，

连接DE，

∴在Rt△DBE中，PE= BD= ．

解法二：

可知四边形ABDC为等腰梯形，取BD的中点P′，

P′F= （OB+CD）= ，

P′F∥CD∥AB，

连接EF，可知EF=DF= ，

即EF=FP′=FD，

即△FEP′相似△FP′D，

即∠EP′F=∠FP′D=∠FDP′，

即∠EP′F和∠EPF重合，

即P和P′重合，

P为BC中点，

PE= BD= （△BDE为直角三角形）．

【解析】（1）由抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）分别从GH∥AC与GH与AC不平行去分析，注意先求得直线GH的解析式，根据交点问题即可求得答案，小心不要漏解；（3）利用待定系数法求得直线DF的解析式，即可证得△PBE∽△FDP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．