Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．

（1）求证：AD=BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，

∴GA=GB，

同理：GD=GC，

在△AGD和△BGC中，

，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴AD=BC；

（2）证明：∵∠AGD=∠BGC，

∴∠AGB=∠DGC，

在△AGB和△DGC中， ，

∴△AGB∽△DGC，

∴ ，

又∵∠AGE=∠DGF，

∴∠AGD=∠EGF，

∴△AGD∽△EGF

（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：

则AH⊥BH，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE= ∠AGB=45°，

∴ ，

又∵△AGD∽△EGF，

∴ = = ．

【解析】（1）由GE是AB的垂直平分线，得到GA=GB，同理GD=GC，△AGD≌△BGC（SAS），得到AD=BC；（2）由∠AGD=∠BGC，得到∠AGB=∠DGC，在△AGB和△DGC中，由比值得到△AGB∽△DGC，得到EG：FG=GA：GD，又∠AGE=∠DGF，得到∠AGD=∠EGF，所以△AGD∽△EGF；（3）由△AGD≌△BGC，得到∠GAD=∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，得到∠AGB=∠AHB=90°，∠AGE= ∠AGB=45°，又△AGD∽△EGF，得到.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．