Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3相交于坐标轴上的A，B两点，顶点为C．

（1）填空：b= ， c=；
（2）将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF．当h为何值时，直线EF与抛物线y=x2+bx+c没有交点？
（3）直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N．当直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分时，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）﹣4,3
（2）解：∵将直线AB：y=﹣x+3向下平移h个单位长度，得直线EF，

∴可设直线EF的解析式为y=﹣x+3﹣h．

把y=﹣x+3﹣h代入y=x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3=﹣x+3﹣h．

整理得：x2﹣3x+h=0．

∵直线EF与抛物线没有交点，

∴△=（﹣3）2﹣4×1×h=9﹣4h＜0，

解得h＞ ．

∴当h＞ 时，直线EF与抛物线没有交点；

（3）解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴顶点C（2，﹣1）．

设直线AC的解析式为y=mx+n．

则 ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y=﹣2x+3．

如图，设直线AC交x轴于点D，则D（ ，0），BD= ．

∴S△ABC=S△ABD+S△BCD= × ×3+ × ×1=3．

∵直线x=m与线段AB、AC分别交于M、N两点，则0≤m≤2，

∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣2m+3），

∴MN=（﹣m+3）﹣（﹣2m+3）=m．

∵直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分，

∴分两种情况讨论：

①当 = 时，即 = ，解得 m=± ；

②当 = 时，即 = ，解得 m=±2

∵0≤m≤2，

∴m= 或m=2．

∴当m= 或2时，直线x=m把△ABC的面积分为1：2两部分．

【解析】解：（1）∵直线y=﹣x+3交坐标轴于A，B两点，

∴A（0，3），B（3，0），

把A（0，3），B（3，0）代入y=x2+bx+c，

得 ，解得 ．

所以答案是﹣4，3；