Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC= ．

（1）求证：BC2=CDBE；
（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，

∴∠ACD=∠EBC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，

∴△DAC∽△CEB，

∴ = ，

∴BCAC=CDBE，

∵AC=BC，

∴BC2=CDBF．

（2）

解：过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．

在Rt△CBF中，BF=BCcos∠ABC=9× =3，

∴AB=6，

在Rt△ABG中，BG=ABcos∠ABC=6× =2，

∵AD∥BC，DH=AG，

∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，

∵AG∥DH，

∴GH=AD=x，

∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x，

∴CD= = = ，

∵△CEB∽△DAC，

∴ = ，

∴ = ，

∴y= ，

∴y= （x＞0且x≠9）

（3）

解：∵△DBC∽△DEB，∠CDB=∠BDE，∠CBD＜∠DBC，

∴∠DBC=∠DEB=∠ACB，

∴OB=OC，

∵AD∥BC，

∴ = ，

∴AC=BD，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，

∵∠AGB=∠DHC=90°，

∴△ABG≌△DCH，

∴CH=BG=2，

∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5．

∴CE=y=

【解析】（1）只要证明△DAC∽△CEB，得到 = ，再根据题意AC=BC，即可证明．（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．由△CEB∽△DAC，得 = ，由此即可解决问题．（3）首先证明四边形ABCD是等腰梯形，再证明△ABG≌△DCH，推出CH=BG=2，推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（2）中即可即可解决问题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解梯形的定义(一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形)，还要掌握直角梯形(一腰垂直于底的梯形是直角梯形)的相关知识才是答题的关键．