Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BABD=BCBE
（1）求证：DEAB=ACBE；
（2）如果AC2=ADAB，求证：AE=AC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BABD=BCBE，

∴ ，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△EBD，

∴ ，

∴DEAB=ACBE；

（2）证明：∵AC2=ADAB，

∴ ，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∵ ，∠B=∠B，

∴△BAE∽△BCD，

∴∠BAE=∠BCD，

∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，

∴∠AEC=∠ACE，

∴AE=AC．

【解析】（1）由BABD=BCBE得 ，结合∠B=∠B，证△ABC∽△EBD得 ，即可得证；（2）先根据AC2=ADAB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B，再由 证△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD，根据∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE，即可得证．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．