Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数 的图象抛物线经过A、C两点．

（1）求该二次函数的表达式；
（2）F，G分别为x轴、y轴上的动点，首尾顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；
（3）抛物线上是否存在点P，使△ODP的面积为8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）∵二次函数 的图象经过A（0，4）、C（5，0）两点，
∴ 解得
∴二次函数的解析式为
（2）∵四边形OABC为矩形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，AB＝OC＝5，BC＝OA＝4，
∴B（5，4），
∵E为BC中点，
∴E（5，2），
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，
∴∠ADO＝∠AOD＝45°，
∴AD＝OA＝4，
∴D（4，4），
∴DE＝ ，
作D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′G、E′F，如下图所示：

则D′（－4，4），E′（5，－2），且D′G＝DG，E′F＝EF，
∵在 E′BD′中，∠E′BD′＝90°，BD′＝5－（－4）＝9，E′B＝4－（－2）＝6，
∴E′D′＝ ，
∵四边形DEFG的周长＝DE＋EF＋FG＋GD＝DE＋ E′F＋FG＋ GD′≥DE＋ E′D′，
∴四边形DEFG的周长最小值为DE+ E′D′，
∴四边形DEFG周长的最小值是
（3）解：∵点D的坐标是（4，4），
∴OD＝ ，
又∵使△ODP的面积为8，
∴点P到直线OD的距离为 ，
过点O作OF⊥OD，取OF= ，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，则，∠OFG＝90°，如图所示：

∵∠DOC＝45°（已求），
∴∠COF＝∠FOG＝45°，
在直角 中，OF＝ ，
∴OG＝ ＝4，
∴直线GF的解析式为y=x-4,
把y=x-4代入 中，得 ，
解得x1=4,x2=10,
把x1=4,x2=10代入y=x-4中，得y1=0,y2=6,
∴P1(4,0),P2(10,6),
过点O作OF⊥OD，取OF= ，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，如下图所示：

∵∠DOC＝45°（已求），
∴∠DOA＝∠AOF＝∠GOF=45°，
在直角 中，OF＝ ，
∴OG＝ ＝4，
∴直线GF的解析式为y=x+4,
把y=x+4代入 中，得 ，
解得x1=0,x2=14,
把x1=0,x2=14代入y=x+4中，得y1=4,y2=18,
∴P1(0,4),P2(14,18),
所以综合上述可得，P1(4，0) 、 P2(10，6) 、P3(0，4) 、 P4(14，18)
【解析】（1）把A、C坐标代入解析式，解方程组，即可求出解析式；（2）利用对称法，做出D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，当D'、E'、F、G四点共线时，周长最小;（3）以OD为底边，使△ODP的面积为8，则点P到直线OD的距离为 2 ,在OD两侧作平行于OD的直线，使直线与直线OD的距离为 2 ，与抛物线交于4个点，解方程组，求出坐标.