Question

【题目】如图，已知的半径为 4，是圆的直径，点是的切线上的一个动点，连接交于点，弦平行于，连接.

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)当__________时，四边形为菱形；

(3)当___________时，四边形为正方形.

Answer 1

【答案】【解析】(1)证明见解析；⑵60°；⑶ .

【解析】

（1）根据EF∥AB，可以得到∠FAB和∠CAB的关系，可证得△ACB≌△AFB，可求得∠AFB=90°，可得出结论；
（2）根据四边形ADFE为菱形，通过变形可以得到∠CAB的度数；
（3）根据四边形ACBF为正方形，AC=4，AF⊥AE且AF=AE，利用勾股定理可求得EF的长

(1)BF与⊙A相切，理由如下：

∵EF∥AB，

∴∠AEF=∠CAB，∠AFE=∠FAB，

又∵AE=AF，

∴∠AEF=∠AFE，

∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中

∴△ABC≌△ABF(SAS)；

∴∠AFB=∠ACB =90°，

∴直线BF与⊙A相切.

(2)连接CF，如右图所示，

若四边形ADFE为菱形，则AE=EF=FD=DA，

又∵CE=2AE，CE是圆A的直径，

∴CE=2EF,∠CFE=90°，

∴∠ECF=30°，

∴∠CEF=60°，

∵EF∥AB，

∴∠AEF=∠CAB，

∴∠CAB=60°，

故答案为60°；

(3)若四边形ACBF为正方形，则AC=CB=BF=FA=4，且AF⊥AE，

∴

故答案为.