Question

【题目】如图，在⊙O中，点C为 的中点，∠ACB＝120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D＝∠B．

（1）求证：AD与⊙O相切；

（2）若CE＝4，求弦AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8

【解析】

（1）连接OA，由，得CA=CB，根据题意可得出∠O=60°，从而得出∠OAD=90°，则AD与⊙O相切；

（2）由题意得OC⊥AB，Rt△BCE中，由三角函数得BE=4，即可得出AB的长．

（1）证明：如图，连接OA，

∵，

∴CA＝CB，

又∵∠ACB＝120°，

∴∠B＝30°，

∴∠O＝2∠B＝60°，

∵∠D＝∠B＝30°，

∴∠OAD＝180°﹣（∠O+∠D）＝90°，

∴AD与⊙O相切；

（2）∵∠O＝60°，OA＝OC，

∴△OAC是等边三角形，

∴∠ACO＝60°，

∵∠ACB＝120°，

∴∠ACB＝2∠ACO，AC＝BC，

∴OC⊥AB，AB＝2BE，

∵CE＝4，∠B＝30°，

∴BC＝2CE＝8，

∴BE＝＝＝4，

∴AB＝2BE＝8，

∴弦AB的长为8．