Question

【题目】问题提出：用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为1的小长方形格子，小长方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，多边形内部的格点数为n，S与x，n之间是否存在一定的数量关系呢？
（1）问题探究：
如图1，图中所示的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请填写下表并写出S与x之间的关系式S= ．

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4	…
各边上格点的个数和x	4				…

（2）在图2中所示的格点多边形，这些多边形内部都有且只有2个格点．探究此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式S= ．
（3）请继续探索，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S与x，n之间的关系式S=（用含有字母x，n的代数式表示）
（4）问题拓展：
请在正三角形网格中的类似问题进行探究：在图3、4中正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，图是该正三角形格点中的两个多边形．
根据图中提供的信息填表：

	格点多边形各边上的格点的个数	格点多边形内部的格点个数	格点多边形的面积
多边形1（图3）	8	1	8
多边形2（图4）	7	3	11
…	…	…	…
…	…	…	…
…	…	…	…
一般格点多边形	a	b	S

则S与a，b之间的关系为S=（用含a，b的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）
x；5；6；8
（2）
x+1
（3）
x+（n﹣1）
（4）a+2b﹣2
【解析】解：问题探究：
（1.）∵①各边上格点个数和为：4，S=2= ×4，
②各边上格点个数和为：5，S=2.5= ×5，
③各边上格点个数和为：6，S=3= ×6，
④各边上格点个数和为：8，S=4= ×8，
∴S= x；
所以答案是： x；5，6，8；
（2.）由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，
⑦的各边上格点的个数为6，面积为4= ×6+1，
⑥的各边上格点的个数为10，面积为6= ×10+1，
∴S= x+1；
所以答案是： x+1；
（3.）由图1可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S= x+（n﹣1）．
（4.）问题拓展：
格点多边形各边上的格点的个数为8，格点多边形内部的格点个数1，则s=8+2×1﹣2=8
格点多边形各边上的格点的个数为7，格点多边形内部的格点个数3，则s=7+2×3﹣2=11
格点多边形各边上的格点的个数为a，格点多边形内部的格点个数b，则S=a+2b﹣2
所以答案是a+2b﹣2．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数与式的规律(先从图形上寻找规律，然后验证规律，应用规律，即数形结合寻找规律)．