Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是（ ） ①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AMAC；④若BP=PC，则PQ⊥AC．

A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】证明：如图，
∵△ABC和△APQ是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°﹣∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，故②正确，
∴AB∥CQ，故①正确，
∵∠APQ=∠ACQ=60°，∠PAC=∠PAC，
∴△APM∽△ACP，
∴ = ，
∴AP2=ACAM，故③正确，
∵BP=PC，
∴∠BAP=30°，
∴∠PAC=30°，
∵∠APM=60°，
∴∠AMP=90°，
∴PQ⊥AC，故④正确．
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．