Question

【题目】如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．

（1）当AP=CP时，求QP；
（2）若四边形PMQN为菱形，求CQ；
（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=10，sinA= ，

∴BC=8，

则AC= =6，

∵PA=PC．

∴∠PAC=∠PCA，

∵PQ平分∠CPB，

∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A，

∴∠BPQ=∠A，

∴PQ∥AC，

∴PQ⊥BC，又PQ平分∠CPB，

∴∠PCQ=∠PBQ，

∴PB=PC，

∴P是AB的中点，

∴PQ= AC=3；

（2）

解：∵四边形PMQN为菱形，

∴MQ∥PC，

∴∠APC=90°，

∴ ×AB×CP= ×AC×BC，

则PC=4.8，

由勾股定理得，PB=6.4，

∵MQ∥PC，

∴ = = = ，即 = ，

解得，CQ= ；

（3）

解：∵PQ平分∠CPB，QM⊥AB，QN⊥CP，

∴QM=QN，PM=PN，

∴S△PMQ=S△PNQ，

∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等，

∴PB=2PM，

∴QM是线段PB的垂直平分线，

∴∠B=∠BPQ，

∴∠B=∠CPQ，

∴△CPQ∽△CBP，

∴ = = ，

∴ = ，

∴CP=4× =4× =5，

∴CQ= ，

∴BQ=8﹣ = ，

∴BM= × = ，

∴AP=AB﹣PB=AB﹣2BM= ．

【解析】（1）根据正弦的概念求出BC，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算即可；（2）根据菱形的性质得到MQ∥PC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（3）根据角平分线的性质得到QM=QN，PM=PN，根据题意得到PB=2PM，得到QM是线段PB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质、相似三角形的判定定理解答．
【考点精析】本题主要考查了角平分线的性质定理的相关知识点，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上才能正确解答此题．