Question

【题目】如图，已知点A（﹣3，0），二次函数y=ax2+bx+ 的对称轴为直线x=﹣1，其图象过点A与x轴交于另一点B，与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式，写出顶点坐标；
（2）动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个三位长度的速度分别沿△ABC的BA，BC边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连结MN，将△BMN沿MN翻折，若点B恰好落在抛物线弧上的B′处，试求t的值及点B′的坐标；
（3）在（2）的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得 ，

解得 ，

二次函数的解析式为y=﹣ x2﹣ x+

配方得y=﹣ （x+1）2+ ，

顶点坐标为（﹣1， ），

（2）

解：如图1

，

由题意知OA=3，OB=1，ON= ，

∴∠CBA=60°，

又∵BM=BN，

∴△MBN是正三角形，

∴M（1﹣2t，0），N（1﹣t， t）．

将△BMN沿MN翻折后，得

B′N=BN=2t，∠B′NM=∠BMN=60°，

∴B′N∥BM，

∴B′（1﹣3t， t），

又点B′在抛物线上，

∴ t=﹣ （1﹣3t）2﹣ （1﹣3t）+ ，

化简，得9t2﹣9t=0，解得t=0（不符合题意，舍）t=1，

t=1时，1﹣3t=﹣2， t= ，

∴B′（﹣2， ）；

（3）

解：由题意可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，∠ABC=60°．又Q（ ， ）．

①如图2

，

由题意知OA=3，OB=1，

P在x轴上时，过Q作P1Q⊥BQ交x轴于P1点，

∵P1Q∥AC，

∴1BQ∽△ABC，

= = ，

解得P1B=2，OP1=1，P1（﹣1，0）；

过Q作P2Q⊥x轴于P2，

∵∠P2BQ=∠CBA，∠QPB=∠ACB，

∴QBP2∽△ABC，

= ，

解得BP2= ，OP2= ，

P2（ ，0）；

P在x轴的其它位置时，△PBQ不可能为直角三角形，不可能与△ABC相似；

②同理，当P在y轴上时，作P3Q⊥BQ交y轴于P3，

∵∠P3BQ=∠BAC=∠P3BO=30°，∠P3QB=∠ACB=90°，

∴△BP3Q∽△ABC．

∵tan∠P3BO= = ，P3O= ，

P3（0， ）．

B作P4B⊥BQ交y于P4，但 ≠ ，

∴△QBP4Y与△ABC不相似，P在y轴上其它位置时，△PQB不为直角三角形，不能与△ABC相似；

综上所述：坐标轴上存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似，P点坐标为（﹣1，0），（ ，0），（0， ）．

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）根据等边三角形的判定，可得△MBN是正三角形，根据翻折的性质，可得B′N，∠B′NM，根据平行线的判定，可得B′的纵坐标，根据点的坐标满足函数解析式，可得关于t的方程，根据解方程，可得t，可得B′的坐标；（3）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．