Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）若∠BAC=90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的情况下，点M在AC线段上移动，请直接回答，当点M移动到什么位置时，MB+MD有最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是菱形，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理证明△AEF≌△DEB；

（2）根据全等三角形的性质得到AF=DC，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD=DC，证明四边形ADCF是菱形；

（3）根据菱形的性质得到点D与点F关于直线AC对称，根据轴对称的性质作图即可．

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB；

（2）解：四边形ADCF是菱形，

理由如下：∵△AEF≌△DEB，

∴AF=BD，

∵BD=DC，

∴AF=DC，又AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，

∴AD=DC，

∴四边形ADCF是菱形；

（3）连接BF交AC于M，

则点M即为所求，

∵四边形ADCF是菱形，

∴点D与点F关于直线AC对称，

∴MD=MF，

∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．