Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得到△A′PB．

（1）如图2所示，当PA′⊥BC时，求线段PA的长度．

（2）当∠DPA′＝10°时，求∠APB的度数．

Answer 1

【答案】（1）PA＝5+5；（2）85°或95°或5°；

【解析】

（1）作BH⊥AD于H．利用特殊直角三角形边角关系 求出AH，BH，即可解决问题．
（2）分情况讨论，求出∠APA′，利用翻折不变性解决问题即可．

解：（1）如图2中，作BH⊥AD于H．

在Rt△ABH中，

∵∠AHB＝90°，AB＝10，∠A＝60°，

∴∠ABH＝30°，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵PA′⊥BC，

∴PA′⊥AD，

∴∠APA′＝90°，

∴∠HPB＝∠BPA′＝45°，

∵BH⊥AD，

∴∠HBP＝45°，

∴，

∴；

（2）①如图1-1，

图1-1

当PA′在直线AD的右侧时，

∵∠DPA′＝10°，

∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10°＝170°，

由翻折的性质可知：；

②如图1-2

图1-2

当PA′在直线AD的左侧时，由翻折的性质可知：，

③如图1-3

图1-3

当点P在AD的延长线上时，由折叠知，，

故∠APB的度数为85°或95°或5°；