Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD= ，

（1）求 的值．
（2）设⊙O的半径为3，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，过点O作OF⊥AB于点F，

∵AO平分∠CAB，

OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC=OF，

∴AB是⊙O的切线；

连接CE，

∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD=90°，

∴∠ECO+∠OCD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ECO=90°，

∴∠ACE=∠OCD，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ACE=∠ODC，

∵∠CAE=∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴ = ，

∵tan∠D= ，

∴ = ，

∴ =

（2）解：

由（1）可知： = ，

∴设AE=x，AC=2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴ = ，

∴AC2=AEAD，

∴（2x）2=x（x+6），

解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），

∴AE=2，AC=4，

由（1）可知：AC=AF=4，

∠OFB=∠ACB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△OFB∽△ACB，

∴ = ，

设BF=a，

∴BC= ，

∴BO=BC﹣OC= ﹣3，

在Rt△BOF中，

BO2=OF2+BF2，

∴（ ﹣3）2=32+a2，

∴解得：a= 或a=0（不合题意，舍去），

∴AB=AF+BF= ．

【解析】（1）可把∠D放在直角三角形中，须连接CE，OF，证出△ACE∽△ADC，利用对应边成比例转化;（2）利用（1）的结果求出AE、AC，证出△OFB∽△ACB，列出比例式，利用勾股定理建立方程，求出AB.
【考点精析】掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．