Question

【题目】如图所示，动点A，B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA，OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B，C两点，假设A，B两点运动的时间为t秒：
根据
（1）直接写出直线OC的解析式；
（2）当t=3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S△BCD=6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（4）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP= ，CP=2，∠OPA=135°，直接写出此时AP的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形OABC是正方形，

∴∠AOC=45°，

∴直线OC的解析式为y=x

（2）解：∵t=3秒，

∴OA=OB=3，

∴点B（0，3），C（3，3），

将点B、C代入抛物线得， ，

解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+3，

设BC边上的高为h，

∵BC=OA=3，S△BCD=6，

∴h=4，

∴点D的纵坐标为3﹣4=﹣1，

令y=﹣1，则﹣x2+3x+3=﹣1，

整理得，x2﹣3x﹣4=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

所以，D1（﹣1，﹣1），D2（4，﹣1）

（3）解：∵OB=3，

∴EF=3，

设E（m，﹣m2+3m+3），F（m，m），

若E在F上方，则，﹣m2+3m+3﹣m=3，

整理得，m2﹣2m=0，

解得m1=0（舍去），m2=2，

∴F1（2，2），

若F在E上方，则，m﹣（﹣m2+3m+3）=3，

整理m2﹣2m﹣6=0，

解得m1=1﹣ ，m2=1+ ，

∴F2（1﹣ ，1﹣ ），

F3（1+ ，1+ ）

（4）解：如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，

由旋转的性质得，AP′=AP，P′C=OP= ，∠AP′C=∠OPA=135°，

∵△APP′是等腰直角三角形，

∴∠AP′P=45°，

∴∠PP′C=135°﹣45°=90°，

由勾股定理得，PP′= = = ，

所以，AP= PP′= × =1．

【解析】（1）由正方形的性质得出∠AOC=45°。易得直线OC的解析式为y=x.
（2）根据已知求出点B、C两点的坐标，用待定系数法就可以求出二次函数的解析式。设BC边上的高为h，根据三角形的面积求出h的值，即可求出点D的纵坐标，将点D的纵坐标代入函数解析式就可以 求出点D的坐标。
（3）已知O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，则有OB=EF=3，点E在抛物线上，点F在直线y=x上，分两种情况：点E在点F的上方；点E在点F的下方，设出点E、F的坐标，根据OB=EF，建立方程求解，即可求出点F的坐标。
（4）此题用旋转的知识来解答。将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，易证明APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C=90°，利用勾股定理就可以求出AP的长。
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．