Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=6，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．

（1）求BH的长；
（2）若AB=12，试判断∠CBD与∠A的数量关系，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵DH∥AB，

∴△ABC∽△DHC，

∴ ，

∵BC=6，AC=3CD，

∴CH=2，

∴BH=BC+CH=6+2=8；

（2）解：∠CBD=∠A，

理由是：∵AC=3CD，△ABC∽△DHC，

∴ =3，

∵AB=12，

∴DH=4，

∵DH∥AB，∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠H=90°，

∵AB=12，BC=6，BH=8，DH=4，

∴tan∠CND= ，tanA= ，

∴∠CBD=∠A．

【解析】（1）由已知条件DH∥AB，得出△ABC∽△DHC，再得对应边成比列，建立方程，即可求出BH的长。
（2）先由△ABC∽△DHC，得出对应边成比例，求出AB的长，再证明∠H=90°，然后利用三角函数的定义分别求出tan∠CND，tanA的值，即可得出∠CBD与∠A的数量关系。
【考点精析】本题主要考查了平行线的性质和相似三角形的判定的相关知识点，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）才能正确解答此题．