Question

【题目】如图，直线y=﹣ x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+ 经过A，B两点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=﹣ x+ 分别与x轴、y轴交于B、C两点，

∴B（3，0），C（0， ），

∴OB=3，OC= ，

∴tan∠BCO= = ，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴ =tan30°= ，即 = ，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）

解：∵抛物线y=ax2+bx+ 经过A，B两点，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+ ；

（3）

解：∵MD∥y轴，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，

∴DH= DM，MH= DM，

∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+ DM+ DM= DM，

∴当DM有最大值时，其周长有最大值，

∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，

∴可设M（t，﹣ t2+ t+ ），则D（t，﹣ t+ ），

∴DM=﹣ t2+ t+ ），则D（t，﹣ t+ ），

∴DM=﹣ t2+ t+ ﹣（﹣ t+ ）=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴当t= 时，DM有最大值，最大值为 ，

此时 DM= × = ，

即△DMH周长的最大值为 ．

【解析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的最值和平行线的性质，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补即可以解答此题．