Question

【题目】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°，

∴∠ABD=∠ADE=30°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

（2）

解：如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

过A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB=90°，

∵AB=2，∠ABF=30°，

∴AF= AB=1，

∴BF= ，

∴BC=2BF=2 ，

则DC=2 ﹣x，EC=2﹣y，

∵△ABD∽△DCE，

∴ ，

∴ ，

化简得：y= x+2（0＜x＜2 ）；

（3）

解：当AD=DE时，如图2，

由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，

则AB=CD，即2=2 ﹣x，

x=2 ﹣2，代入y= x+2，

解得：y=4﹣2 ，即AE=4﹣2 ，

当AE=ED时，如图3，

∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，

∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，

则ED= EC，即y= （2﹣y），

解得：y= ，即AE= ，

当AD=AE时，

∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，

此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，

∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2 或 ．

【解析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED= EC，即y= （2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．
【考点精析】利用函数关系式和等腰三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．