Question

【题目】我们知道：三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心（三角形内切圆的圆心）．现在规定：如果四边形的四个角的角平分线交于一点，我们把这个点也成为“四边形的内心”．
（1）试举出一个有内心的四边形．
（2）如图1，已知点O是四边形ABCD的内心，求证：AB+CD=AD+BC．

（3）如图2，Rt△ABC中，∠C=90°．O是△ABC的内心．若直线DE截边AC，BC于点D，E，且O仍然是四边形ABED的内心．这样的直线DE可画多少条？请在图2中画出一条符合条件的直线DE，并简单说明作法．

（4）问题（3）中，若AC=3，BC=4，满足条件的一条直线DE∥AB，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：菱形

（2）解：作OE⊥AD与E，OF⊥AB与F，CG⊥BC与G，OH⊥CD与H，

∵∠AEO=∠AFO=90°

∴O是四边形ABCD的内心

∴∠EAO=∠FAO

在Rt△AEO和Rt△AFO中，

∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL）

∴AE=AF，

同理：BF=BG，CG=CH，DH=DE，

∴AE+DEBG+CG=AF+BF+CH+DH

即：AD+BC=AB+CD

（3）解：有无数条

作△ABC的内切圆圆O，切AC，BC于M、N，在弧MN上取一点F，作过F点作圆O的切线，交AB于E，交AC于D，沿DE剪裁，

（4）解：作CG⊥AB与点G，

由勾股定理得：AB=

∴ =2.4

设△ABC的内切圆的半径为r，则r= =1

∵DE∥AB

∴△CDE∽△CAB

∴ ∴

∴

【解析】（1）根据四边形的每一条对角线平分一组对角，即可得答案。
（2）根据内心是各个角的平分线的交点，过交点O分别作四边的垂线段，根据角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，可证得结果。
（3）可画无数条。
（4）根据勾股定理求得AB的长，根据面积相等求出CG的长，由三角形的内切圆半径和三角形三边关系式可求出r的长。根据相似三角形的性质，建立方程，求出DE的长。
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和三角形的内切圆与内心，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心才能得出正确答案．