Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点A，C，D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F，交AB于E，且∠BPF=∠ADC．

（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；
（2）当⊙O的半径为 ，AC=2，BE=1时，求BP的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线BP和⊙O相切，

理由：连接BC，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∵PF∥AC，

∴BC⊥PF，

则∠PBC+∠BPF=90°，

∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，

∴∠BPF=∠ABC，

∴∠PBC+∠ABC=90°，

即∠PBA=90°，

∴PB⊥AB，

∵AB是直径，

∴直线BP和⊙O相切

（2）解：由已知，得∠ACB=90°，

∵AC=2，AB=2 ，

∴由勾股定理得：BC=4，

∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，

∴∠BPF=∠ABC，

由（1），得∠ABP=∠ACB=90°，

∴△ACB∽△EBP，

∴ = ，

解得BP=2，

即BP的长为2．

【解析】（1）由AB是⊙O的直径及PF∥AC，构造圆周角是直角，因此连接BC，易得到BC⊥PF，从而证得∠PBC+∠BPF=90°，再根据同弧所对的圆周角相等，通过等量代换，得出∠PBA=90°，就可证得结论。
（2）根据已知条件在Rt△ABC中，根据勾股定理可以求得BC的长，再证明△ACB∽△EBP，得对应边成比例，建立方程，解方程即可求解。
【考点精析】掌握勾股定理的概念和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．