Question

【题目】问题发现：数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AD是BC边上的中线，求AD的长度．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，则AD＝AE

在△ADC和△EDB中

∴△ADC≌△EDB

∴∠DBE＝∠DCA，BE＝AC

∴BE∥AC

∴∠EBA+∠BAC＝180°

∵∠BAC＝90°

∴∠EBA＝90°

在△EBA和△CAB中

∴△EBA≌△CAB

∴AE＝BC

∵BC＝10

∴AD＝AE＝BC＝5

（1）若将上述问题中条件“BC＝10”换成“BC＝a”，其他条件不变，则可得AD＝　 　．

从上得到结论：直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半．

（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形进而求解．

问题解决：（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，M是AB的中点．若CM＝6.5，BC+CD+DA＝17，求四边形ABCD的面积．

问题拓展：（3）如图③，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，∠DFE与∠AEF的度数满足数量关系：∠DFE＝k∠AEF，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30；（3）k＝3

【解析】

问题发现（1）：证明△ADC≌△EDB（SAS），可得∠DBE＝∠DCA，BE＝AC，证明△EBA≌△CAB（SAS），可得出AE＝BC，则可求出答案；

问题解决：（2）延长CM、DA交于点E．根据AAS可以证明△AME≌△BMC，则ME＝MC＝6.5，AE＝BC；根据BC+CD+DA＝17，得DE+DC＝17①，根据勾股定理，得DE2+DC2＝CE2＝169②，联立求得DECD的值，即可求得答案；

问题拓展：（3）连接CF并延长交BA的延长线于G，先证明CF＝GF，再由直角三角形斜边上的中线性质可证明EF＝CF，得出∠G＝∠FEG，再证明AF＝AG，得出∠G＝∠AFG＝∠DFC，即可求出答案．

解：（1）问题发现：

延长AD到E，使DE＝AD，则AD＝AE，

在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴∠DBE＝∠DCA，BE＝AC，

∴BE∥AC，

∴∠EBA+∠BAC＝180°，

∵∠BAC＝90°

∴∠EBA＝90°

在△EBA和△CAB中，

，

∴△EBA≌△CAB（SAS）

∴AE＝BC，

∵BC＝a，

∴AD＝AE＝BC＝．

故答案为：．

问题解决：（2）

如图②，延长CM、DA交于点E．

∵AD∥BC，

∴∠MAE＝∠B，∠E＝∠BCM．

又AM＝BM，

∴△AME≌△BMC（AAS）．

∴ME＝MC＝6.5，AE＝BC．

又BC+CD+DA＝17，∠D＝90°，

∴DE+DC＝17①，DE2+DC2＝CE2＝169②．

∴DECD＝ [（DE+DC）2﹣DE2﹣DC2]＝60．

∴四边形ABCD的面积为S＝DECD＝30．

问题拓展：（3）

连接CF并延长交BA的延长线于G，如图③所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD

∵F是AD的中点，

∴CF＝GF，

∵CE⊥AB，

∴∠CEG＝90°，

∴EF＝CG＝CF＝GF，

∴∠G＝∠FEG，

∵AD∥BC，CF＝GF，

∴AG＝AB，

∴AF＝AG，

∴∠G＝∠AFG＝∠DFC，

∵∠CFE＝∠G+∠AEF，

∴∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝3∠AEF，

∵∠DFE＝k∠AEF，

∴k＝3．