Question

【题目】已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x= ． ①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

Answer 1

【答案】
（1）证明：y=（x﹣m）2﹣（x﹣m）=x2﹣（2m+1）x+m2+m，

∵△=（2m+1）2﹣4（m2+m）=1＞0，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点

（2）解：①∵x=﹣ = ，

∴m=2，

∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+6；

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k，

∵抛物线y=x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，

∴△=52﹣4（6+k）=0，

∴k= ，

即把该抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

【解析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①根据对称轴方程得到=﹣ = ，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=52﹣4（6+k）=0， 然后解关于k的方程即可．