Question

【题目】如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t．

（1）当t=2时，求CF的长；
（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上；
②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿x轴左右平移得到△C′D′F′，再将A，B，C′，D′为顶点的四边形沿C′F′剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的点C′的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意，易证Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴ ．

∵AB=2AM=2AC，

∴CF= OA= t．

当t=2时，CF=1

（2）

解：①由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，

∴ ，

∴AF= OB=2，

∴FD=AF=2，．

∵点C落在线段BD上，

∴△DCF∽△DBO，

∴ ，即 ，

解得t= ﹣2或t=﹣ ﹣2（小于0，舍去）

∴当t= ﹣2时，点C落在线段BD上；

②当0＜t＜8时，如题图1所示：

S= BECE= （t+2）（4﹣ t）=- t2+ t+4；

当t＞8时，如答图1所示：

S= BECE= （t+2）（ t﹣4）= t2﹣ t﹣4

（3）

解：符合条件的点C的坐标为：（12，4），（8，4）或（2，4）．

理由如下：

在△CDF沿x轴左右平移的过程中，符合条件的剪拼方法有三种：

方法一：如答图2所示，当F′C′=AF′时，点F′的坐标为（12，0），

根据△C′D′F′≌△AHF′，△BC′H为拼成的三角形，此时C′的坐标为（12，4）；

方法二：如答图3所示，当点F′与点A重合时，点F′的坐标为（8，0），

根据△OC′A≌△BAC′，可知△OC′D′为拼成的三角形，此时C′的坐标为（8，4）；

方法三：当BC′=F′D′时，点F′的坐标为（2，0），

根据△BC′H≌△D′F′H，可知△AF′C′为拼成的三角形，此时C′的坐标为（2，4）

【解析】（1）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF= OA= t，由此求出CF的值；（2）①由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的长度；若点C落在线段BD上，则有△DCF∽△DBO，根据相似比例式列方程求出t的值；
②有两种情况，需要分类讨论：当0＜t≤8时，如题图1所示；当t＞8时，如答图1所示．（3）本问涉及图形的剪拼．在△CDF沿x轴左右平移的过程中，符合条件的剪拼方法有三种，需要分类讨论，分别如答图2﹣4所示．
【考点精析】本题主要考查了相似图形和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握形状相同，大小不一定相同（放大或缩小）;判定:①平行；②两角相等；③两边对应成比例，夹角相等；④三边对应成比例；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．