Question

【题目】如图，⊙O的半径为1，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状：；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）等边三角形
（2）解：在PC上截取PD=AP，如图，

又∵∠APC=60°，

∴△APD是等边三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴CP=BP+AP．

【解析】解：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
所以答案是：等边三角形；
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．