【题目】如图，已知抛物线y= x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点C为OA的中点，求BC的长；
（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．
（4）将射线OA绕原点旋转45°并与抛物线交于点P，求出P点坐标．

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵点A（a，12）在直线y=2x上，

∴12=2a，

解得：a=6，

又∵点A是抛物线y= x2+bx上的一点，

将点A（6，12）代入y= x2+bx，可得b=﹣1，

∴抛物线解析式为y= x2﹣x


（2）

解：∵点C是OA的中点，

∴点C的坐标为（3，6），

把y=6代入y= x2﹣x，

解得：x1=1+ ，x2=1﹣ （舍去），

故BC=1+ ﹣3= ﹣2


（3）

解：∵直线OA的解析式为：y=2x，

点D的坐标为（m，n），

∴点E的坐标为（ n，n），点C的坐标为（m，2m），

∴点B的坐标为（ n，2m），

把点B（ n，2m）代入y= x2﹣x，可得m= n2﹣ n，

∴m、n之间的关系式为m= n2﹣ n


（4）

解：过点P作DO的垂线，垂足为H，

∵∠POH=45°，

∴△POH为等腰直角三角形，点P可视为点O绕点H顺时针旋转90°而成，

∵点H在直线OA上，设H（t，2t），O（0，0），

将H点平移至原点，H′（0，0），则O（﹣t，﹣2t），

将O′点绕原点顺时针旋转90°，则P′（﹣2t，t），

将H′平移至H点，则P′平移后即为P（﹣t，3t），

∵P点在抛物线上，

∴3t= t2+t，解得：t1=0（舍），t2=4，

∴P1（﹣4，12），

∵OP1⊥OP2，∴KOP1×KOP2=﹣1，

∵KOP1=﹣3，∴KOP2= ，

∴lOP1：y= x，

∵ ，

∴x1=0，x2= ，

∴P2（ ， ）．


【解析】（1）将点A的坐标代入直线解析式求出a的值，继而将点A的坐标代入抛物线解析式可得出b的值，继而得出抛物线解析式；（2）根据点A的坐标，求出点C的坐标，将点B的纵坐标代入求出点B的横坐标，继而可求出BC的长度；（3）根据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．

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