Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．

（1）问题发现

①当θ=0°时，= ；

②当θ=180°时，= ．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）问题解决

①在旋转过程中，BE的最大值为 ；

②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）①；（2）详见解析；（3）①2+2 +1或﹣1.

【解析】分析：（1）①先判断出DE∥CB，进而得出比例式，代值即可得出结论；

②先得出DE∥BC，即可得出，，再用比例的性质即可得出结论；

（2）先∠CAD=∠BAE，进而判断出△ADC∽△AEB即可得出结论；

（3）分点D在BE的延长线上和点D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）结论即可得出CD．

详解：（1）①当θ=0°时，

在Rt△ABC中，AC=BC=2，

∴∠A=∠B=45°，AB=2，

∵AD=DE=AB=，

∴∠AED=∠A=45°，

∴∠ADE=90°，

∴DE∥CB，

∴，

∴，

∴，

故答案为：，

②当θ=180°时，如图1，

∵DE∥BC，

∴，

∴，

即：，

∴，

故答案为：；

（2）当0°≤θ＜360°时，的大小没有变化，

理由：∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵，

∴△ADC∽△AEB，

∴；

（3）①当点E在BA的延长线时，BE最大，

在Rt△ADE中，AE=AD=2，

∴BE最大=AB+AE=2+2；

②如图2，

当点E在BD上时，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根据勾股定理得，BD==，

∴BE=BD+DE=+，

由（2）知，，

∴CD=+1，

如图3，

当点D在BE的延长线上时，

在Rt△ADB中，AD=，AB=2，根据勾股定理得，BD==，

∴BE=BD﹣DE=﹣，

由（2）知，，

∴CD=﹣1．

故答案为： +1或﹣1．