【题目】我们知道，|a|表示a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a、b表示，那么AB=|a－b|．（思考一下，为什么？），利用此结论，回答以下问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____．数轴上表示－2和－5的两点之间的距离___．数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_____；

（2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是___________；

如果|AB|=2，x的值为_____；

（3）说出|x+1|+|x+2|表示几何的意义_，该代数式的最小值是：_____；

（4）求|x－1|+|x－2|+|x－3|+．．．+|x－2019|的最小值．

参考答案：

【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|， 1或－3；（3）数轴上表示的点x到-1和-2两点的距离和，最小值为1；（4）当x=1010时，取最小值1019090．

【解析】

（1）根据两点间的距离的求法列式计算即可得出答案；

（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得出答案；

（3）根据绝对值的几何意义解答即可得出答案；

（4）根据绝对值的几何意义x=1010时值最小，然后去掉绝对值号，再利用求和公式列式计算即可得出答案.

解：（1）2和5的两点之间的距离是：;

－2和－5的两点之间的距离是：;

1和－3的两点之间的距离是：;

（2）A、B之间的距离是：

∵|AB|=2

∴

解得：x=1或-3

（3）|x+1|+|x+2|表示几何的意义是：数轴上表示的点x到-1和-2两点的距离和；

当-2≤x≤-1时，代数式|x+1|+|x+2|=-(x+1)+x+2=1，所以最小值为：1.

（4）当x=1010时取到最小值

原式最小值=1009+1008+…+1+0+1+…+1008+1009=1019090

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