Question

【题目】我们可用表示以为自变量的函数，如一次函数，可表示为，且，，定义:若存在实数，使成立，则称为的不动点，例如：，令，得，那么的不动点是1.

（1）已知函数，求的不动点.

（2）函数（是常数）的图象上存在不动点吗？若存在，请求出不动点；若不存在，请说明理由；

（3）已知函数（），当时，若一次函数与二次函数的交点为，即两点的横坐标是函数的不动点，且两点关于直线对称，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1的不动点为0和2；（2）①时，有唯一的不动点②时，有无数个不动点③时，没有不动点；（3）的取值范围是

【解析】

（1）根据不动点的性质即可列方程求解；

（2）令，得：，根据m,n的取值进行讨论即可求解；

（3）令，则，根据一元二次方程根与系数求出A,B的中点C的坐标，再根据点在直线上，得到，得到b关于a的二次函数，再根据二次函数的性质即可求解.

解：（1）令，则，，

所以的不动点为0和2

（2）令，得：

①若，即时，有唯一的不动点

②若，，即时，有无数个不动点

③若，即时，没有不动点

（3）令，则

设，，则，

的中点坐标为

，

所以

点在直线上，所以

当时，

此时，恒大于0

所以的取值范围是