Question

【题目】如图，甲乙两人在游泳池A处发现游泳池中的P处有人求救，甲立即跳入池中去救人，速度为1米/秒，乙以3.5米/秒的速度沿游泳池边跑到距A不远处的B处，捡起一个游泳圈再跳入池中去救人，甲游了20秒到达P处，两秒后乙到达P处．若∠PAB与∠PBC互余，且cos∠PBC= ，求乙的游泳速度．

Answer 1

【答案】解：作PH⊥BC于H．

在Rt△PBH中，∵cos∠PBH= = ，设BH=3k，PB=5k，则PH=4k，

∵∠PAB+∠PBC=90°，∠PBC+∠BPH=90°，

∴∠BPH=∠PAH，∵∠PHB=∠PHA，

∴△PBH∽△APH，

∴ = ，

∴ = ，

∴AH= k，

∴AB=AH﹣BH= k﹣3k= ，

在Rt△APH中，∵AP=20×1=20，

∴（4k）2+（ k）2=202，

∴k=3，

∴AB=7，PB=15，

∴乙从A到B的运动时间= =2s，从B到P的运动时间=22﹣2=20s，

∴乙的游泳速度为 =0.75米/秒．

【解析】作PH⊥BC于H．在Rt△PBH中，由cos∠PBH= = ，设BH=3k，PB=5k，则PH=4k，由△PBH∽△APH，推出 = ，可得AH= k，AB=AH﹣BH= k﹣3k= ，在Rt△APH中，AP=20×1=20，利用勾股定理可得（4k）2+（ k）2=202，求出k即可解决问题．
【考点精析】利用余角和补角的特征对题目进行判断即可得到答案，需要熟知互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关．