Question

【题目】如图．AB是⊙O的直径，E为弦AP上一点，过点E作EC⊥AB于点C，延长CE至点F，连接FP，使∠FPE=∠FEP，CF交⊙O于点D．
（1）证明：FP是⊙O的切线；
（2）若四边形OBPD是菱形，证明：FD=ED．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OP，

∵OP=OA，

∴∠A=∠APO，

∵EC⊥AB，

∴∠A+∠AEC=90°，

∵∠FPE=∠FEP，∠FEP=∠AEC，

∴∠AEC=∠FPE，

∴∠OPA+∠FPA=90°，

∴OP⊥PF，

∴FP是⊙O的切线

（2）证明：∵四边形OBPD是菱形，

∴PB=OB，

∵OB=OP，

∴OP=OB=PB，

∴△OPB是等边三角形，

∴∠B=∠BOP=60°，

∴∠A=30°，

∴∠AEC=∠FEP=60°，

∴∠FPE=∠FEP=60°，

∴△FPE是等边三角形，

∵PD∥AB，

∴PD⊥EF，

∴FD=ED．

【解析】（1）连接OP，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠APO，根据垂直的定义得到∠A+∠AEC=90°，等量代换得到∠AEC=∠FPE，于是得到OP⊥PF，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到PB=OB，推出△OPB是等边三角形，得到∠B=∠BOP=60°，于是得到△FPE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解菱形的性质(菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半)，还要掌握垂径定理(垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)的相关知识才是答题的关键．