Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为边作△CDE，其中CD=CE，∠DCE=90°，连接BE．

(1)求证：△ACD≌△BCE.

(2)若AB=6cm，则BE=______cm．

(3)BE与AD有何位置关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)12；(3)垂直平分.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE即可；

（2）根据全等三角形的性质得到AD=BE即可；

（3）由全等三角形的性质得出∠EBC=∠A，由△ABC是等腰直角三角形，则∠A=∠ABC=∠EBC=45°，则BE⊥AD，即可得到答案.

解：（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，

∴CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵DB=AB，

∴AD=2AB=12cm，

由（1）得：△ACD≌△BCE，

∴BE=AD=12cm；

故答案为：12；

（3）由△ACD≌△BCE，

∴∠EBC=∠A，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠ABC=∠EBC=45°，

∴∠ABE=90°，

即BE⊥AD.