Question

【题目】如图1所示,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交A(1,4)，B(-4,c)两点,

如图2所示,点M、N都在直线AB上,过M、N分别作y轴的平行线交双曲线于E、F,设M、N的横坐标分别为m、n,且 4 < m < 0 , n > 1 ,请探究,当m、n满足什么关系时，ME=NE.

（1）求反比例函数及一次函数的解析式;

（2）点P是x轴上一动点,使|PA-PB|的值最大,求点P的坐标及△PAB的面积;

（3）如图2所示,点M、N都在直线AB上,过M、N分别作y轴的平行线交双曲线于E、F,设M、N的横坐标分别为m、n,且 , n>1,请探究,当m、n满足什么关系时，ME=NE.

Answer 1

【答案】(1) y= ，y=x+3.;(2) P点坐标为(- ,0),S△PAB= ；(3)见解析.

【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）作B关于x轴的对称点B′（-4，1），连接AB′并延长交x轴于P，此时|PA-PB|的值最大，求出直线AB′的解析式即可解决问题；

（3）由题意可知，M（m，m+3），N（n，n+3），E（m，），F（n，），根据ME=NF，可得m+3-=n+3-，即（m-n）（1+）=0，由此即可解决问题；

（1）把A（1，4）代入y=，可得a=4，

∴反比例函数的解析式为y=，

把B（-4，c）代入y=，得到c=-1，

∴B（-4，-1），

把A（1，4），B（-4，-1）代入y=kx+b

得到，解得，

∴一次函数的解析式为y=x+3．

（2）作B关于x轴的对称点B′（-4，1），连接AB′并延长交x轴于P，此时|PA-PB|的值最大，

设AB′的解析式为y=k′x+b′，则有，

解得，

∴直线AB′的解析式为y=x+，

令y=0，得到x=-，

∴P（-，0），

∴S△PAB=××（4+1）=．

（3）如图2中，

由题意可知，M（m，m+3），N（n，n+3），E（m，），F（n，），

∵-4＜m＜0，n＞1，

∴ME=m+3-，NF=n+3-，

当ME=NF时，m+3-=n+3-，

即（m-n）（1+）=0，

∵-4＜m＜0，n＞1，

∴m≠n，1+=0，

∴mn=-4，

∴当mn=-4时，ME=NF．