Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．

（1）求证：△NDE≌△MAE；

（2）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（3）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AM=1时，四边形AMDN为矩形，理由见解析.

【解析】

（1）由菱形的性质可知ND∥AM，可证得∠DNE=∠AME，结合E为AD的中点，可利用AAS证得结论；

（2）由（1）可得ND=AM，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得结论；

（3）若四边形AMDN是矩形，则可求得AM=AD，则可求得答案．

（1）证明：

∵四边形ABCD为菱形，

∴CD∥AB，

∴∠DNE=∠AME，

∵E为AD的中点，

∴DE=AE，

在△NDE和△MAE中

∴△NDE≌△MAE（AAS）；

（2）证明：

由（1）可知△NDE≌△MAE，

∴ND=AM，且ND∥AM，

∴四边形AMDN为平行四边形；

（3）解：当AM=1时，四边形AMDN为矩形，

理由如下：

若四边形AMDN为矩形，则∠AMD=90°，

∵∠DAM=60°，

∴∠ADM=30°，

∴AM=AD=AB=1，

故当AM=1时，四边形AMDN为矩形．