Question

【题目】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为以AQ为腰的等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在AC段的抛物线上有一点R到直线AC的距离最大，请直接写出点R的坐标．

Answer 1

【答案】（1）C（0，﹣4）;（2）E点坐标为（﹣1，0），或（7，0）或（﹣，0）;(3) R（，﹣5）

【解析】

（1）将A，B点坐标代入函数解析式中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．

（2）等腰三角形有两种情况，AQ=EQ，AE=AQ．易得E坐标．

（3）求出AC解析式，设R的坐标，表示出点R到直线AC的距离，根据二次函数的最值的求法，可求R点坐标．

（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴

解得：

∴解析式：y=x2﹣x﹣4

∴C（0，﹣4）

（2）作QD⊥OA于D如图1

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5

∵若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，当点P运动到B点时，点Q停止运动

∴AQ=AB=4

∵QD⊥AB，OC⊥AB

∴QD∥OC

∴

∴

∴QD=，AD=

∵以A，E，Q为顶点的三角形为以AQ为腰的等腰三角形

若当AQ=AE=4时，且A（3，0）

∴E（﹣1，0），或E（7，0）

若当EQ=AQ时，且QD⊥AB

∴DE=AD=

∴E（﹣，0）

∴E点坐标为（﹣1，0），或（7，0）或（﹣，0）

（3）设AC解析式：y=kx+b

∴

解得：

∴AC解析式：y=x﹣4

设R（x，x2﹣x﹣4），R到直线AC的距离为w

∴w=x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣）2+3

∴当x=时，w最大为3．

∴R（，﹣5）