Question

【题目】如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中，．

将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求的度数；

将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在的内部，如图3，且OD恰好平分，CD与MN相交于点E，求的度数；

将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______ 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第______ 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直直接写出结果

Answer 1

【答案】(1)105°;(2)见解析;(3) 5或17；11或23．

【解析】（1）根据三角形的内角和定理可得∠CEN=180°﹣∠DCN﹣∠MNO，代入数据计算即可得解；

（2）根据角平分线的定义求出∠DON=45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；

（3）①分CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD=∠M=60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO=∠M=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可；②分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．

（1）在△CEN中，∠CEN=180°﹣∠DCN﹣∠MNO

=180°﹣45°﹣30°

=105°；

（2）∵OD平分∠MON，∴∠DON=∠MPN=×90°=45°，∴∠DON=∠D=45°，∴CD∥AB，∴∠CEN=180°﹣∠MNO=180°﹣30°=150°；

（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F．

∵CD∥MN，∴∠OFD=∠M=60°．在△ODF中，∠MOD=180°﹣∠D﹣∠OFD=180°﹣45°﹣60°=75°，∴旋转角为75°，t=75°÷15°=5秒；

CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F．

∵CD∥MN，∴∠DFO=∠M=60°．在△DOF中，∠DOF=180°﹣∠D﹣∠DFO=180°﹣45°﹣60°=75°，∴旋转角为75°+180°=255°，t=255°÷15°=17秒；

综上所述：第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行；

如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G．

∵CD⊥MN，∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，t=165°÷15°=11秒，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G．

∵CD⊥MN，∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，t=345°÷15°=23秒．

综上所述：第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．

故答案为：5或17；11或23．