Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上，连接PD.

(1)如果PD∥BC，求证：AC·CD＝AD·BC；

(2)如果∠BPD＝135°，求证：CP2＝CB·CD.

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】试题分析: （1）根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠CPD=∠PCA，得出PD=CD，然后证得△APD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证得结论；

（2）根据三角形内角和定理求得∠B=∠CPD，即可证得△PCB∽△PDC根据相似三角形的性质即可证得结论．

试题解析:

证明：(1)∵PD∥BC，

∴∠PCB＝∠CPD.

∵CP平分∠ACB，

∴∠PCB＝∠PCA，

∴∠CPD＝∠PCA，

∴PD＝CD.

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ABC，

∴＝，

∴AC·PD＝AD·BC，

∴AC·CD＝AD·BC.

(2)∵∠ACB＝90°，CP平分∠ACB，

∴∠PCB＝∠PCA＝45°.

∵∠B＋∠PCB＋∠CPB＝180°，

∴∠B＋∠CPB＝180°－∠PCB＝135°.

∵∠BPD＝135°，

∴∠CPB＋∠CPD＝135°，

∴∠B＝∠CPD，

∴△PCB∽△DCP，

∴＝，

∴CP2＝CB·CD.