Question

【题目】如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD 平分∠ABC．

（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得 DA=CD，这个性质是 ；

（2）问题解决：如图，求证：AD=CD；

（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=100°，BD 平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．

Answer 1

【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

（1）根据角平分线的性质定理解答；

（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；

（3）在BC时截取BK=BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD=DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD=KC，结合图形证明．

（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD=90°，∠BCD=90°，∴DA=DC（角平分线上的点到角的两边距离相等）．

故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；

（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F．

∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE=DF．

∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，∴∠EAD=∠C．

在△DEA和△DFC中，∵，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA=DC；

（3）如图，在BC时截取BK=BD，连接DK．

∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°．

∵BD平分∠ABC，∴∠DBK∠ABC=20°．

∵BD=BK，∴∠BKD=∠BDK=80°，即∠A+∠BKD=180°，由（2）的结论得AD=DK．

∵∠BKD=∠C+∠KDC，∴∠KDC=∠C=40°，∴DK=CK，∴AD=DK=CK，∴BD+AD=BK+CK=BC．