Question

【题目】如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．

（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．

（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．

①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；

②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝，则S△ABC＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①，②

【解析】

（1）利用勾股定理即可得出结论；

（2）①根据SAS可证明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的长；

②连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ，则AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出．

解：（1）证明：如图中，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AB2+CD2＝AD2+BC2；

（2）①如图，连接PC、AQ交于点D，

∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，

∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，

∴∠PBC＝∠ABQ，

∴△PBC≌△ABQ（SAS），

∴∠BPC＝∠BAQ，

又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，

即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，

∴∠PDA＝90°，

∴PC⊥AQ，

利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2

即（5）2+（4）2＝32+PQ2；

∴PQ＝．

②如图，连接PC、AQ交于点D，

同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，

∵M、N分别是AC、AP中点，

∴MN＝，

∵MN＝2，

∴AQ＝PC＝4．

延长QB作AE⊥QE，

则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，

∵EQ＝4+BE，

∴（4+BE）2﹣BE2＝23，

解得BE＝，

∴S△ABC＝BC×BE＝＝．

故答案为：．