Question

【题目】如图1，在△ABC中，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于E．

（1）求证：E为AC的中点；

（2）如图2，过点D作QD⊥AB交BC的延长线于Q，过点E作EP⊥AC交CB的延长线于P，连AP、AQ．若PQ＝12，AP+AQ＝20，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4

【解析】

（1）作CF∥AB交DE的延长线于点F，证明△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质得到AE＝CE；

（2）根据线段垂直平分线的性质得到QA＝QB，AP＝CP，求出BC的长，根据三角形中位线定理解答即可．

（1）证明：作CF∥AB交DE的延长线于点F，

则∠A＝∠FCE，

∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四边形DBCF为平行四边形，

∴BD＝CF，

∵点D为AB的中点，

∴AD＝BD，

∴AD＝CF，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（ASA），

∴AE＝CE，即E为AC的中点；

（2）∵点D为AB的中点，QD⊥AB，

∴QA＝QB，

同理，AP＝CP，

∴BC＝CP+BQ﹣PQ＝AP+AQ﹣PQ＝20﹣12＝8，

∵D、E分别为AB、AC的中点，

∴DE＝BC＝4